02 de novembro de 2011: uma data rara e palíndroma

02 de novembro de 2011. Um dia aparentemente normal, mas em muitos países, uma data única. A data escrita numericamente nos países que escrevem o mês antes do dia (11/02/2011 ao invés de 02/11/2011) é um raro palíndromo de oito dígitos, o que significa que os números podem ser lidos da mesma maneira de trás para frente.

Este século apresenta uma relativa riqueza de palíndromos. 2 de novembro (ou 11/2/2011) é a terceira data do tipo, e haverá mais nove. Na verdade, vivemos em uma idade de ouro em datas palíndromos: antes foi 10/02/2001 e 08/31/1380.

Datas de oito dígitos que são palíndromos são muito raras e estão agrupadas nos primeiros séculos do início dos milênios. Depois disso, aparecem somente entre 600 e 700 anos, até que apareçam em grupo no próximo milênio.

O motivo de essas datas serem tão raras é que o número dos dias não excede 31. Considere, por exemplo, um dia no ano 1401. O número que um dia deveria ter para criar um palíndromo, 41, ultrapassa o número de dias de um mês. Esse padrão continua nos próximos séculos, e é por isso que haverá uma seca similar a essa de palíndromos de oito dígitos depois de 2380.

Não bastasse o segundo dia de novembro (ou o 11º de fevereiro, no caso do Brasil, também representado por 11/02/2011) ser uma data rara em se tratando de palíndromos, o número 11022011 tem outra característica especial.

É o produto de 7 ao quadrado (49), 11 ao cubo (1331) e 13 ao quadrado (169). Isso é impressionante porque os três são números primos consecutivos. Nenhuma outra data palíndromo depois de 10 mil a.C. é assim.

Fonte: http://hypescience.com/02-de-novembro-uma-data-rara-e-palindroma/?utm_source=feedburner&utm_medium=email&utm_campaign=Feed%3A+feedburner%2Fxgpv+%28HypeScience%29

Construção do triângulo de Sierpinski no GeoGebra

Vamos nomear as ferramentas do software da seguinte maneira:

Inicialmente construiremos um triângulo equilátero, para isto utilizaremos a ferramenta 5.2 e criamos dois pontos A e B na área de construção do software, aparecerá uma janela que pedirá quantos lados terá o polígono, aqui basta colocar 3 no campo destinado e daí clicar em OK, obtendo assim o polígono 1.

Agora, para obter a segunda iteração do triângulo de Sierpinski marcamos os pontos médios dos segmentos AB, BC e AC, utilizando a ferramenta 2.3, para isto basta clicar nos pontos A e B onde obteremos o ponto D; da mesma forma obtemos os pontos E e F, respectivamente. Utilizando a ferramenta 5.1 unimos os pontos D, E e F, obtendo o polígono 2, como na figura abaixo:

Para remover o triângulo central basta mudar sua cor para branco, o que podemos fazer clicando com o botão direito do mouse no polígono 2 e depois em propriedades, aí selecionamos a aba cor e mudamos para a desejada, e em seguida clica-se na aba estilo em preenchimento, alterando-o para 100. Pode-se também  mudar a cor de outros polígonos, o que pode ser feito utilizando o mesmo recurso. Assim nosso triângulo de Sierpinski ficará como na figura.

Para construir as outras iterações do triângulo de Sierpinski vamos criar uma nova ferramenta que as fará, clicamos em ferramentas >> Criar uma nova ferramenta, aparecerá na tela uma janela que pedirá os objetos iniciais, objetos finais e um nome para ela. 

• objetos iniciais: pontos A, B e C, nessa ordem.
• objetos finais: os pontos médios D, E e F, e o polígono 2.
• nome: triângulo de Sierpinski. 

Assim clica-se em concluído, e aparecerá um ícone na barra de ferramentas do GeoGebra. 

Agora podemos criar um triângulo de Sierpinski utilizando esta ferramenta, com o número de iterações que for necessário. Na figura abaixo apresentamos algumas iterações deste fractal realizadas no GeoGebra.

A construção aqui utilizada foi baseada na que se encontra no artigo Uma proposta para o ensino de geometria fractal por meio do software GeoGebra, de Fuzzo, Santos e Rezende (2010).

Construção da curva e do floco de neve de Koch utilizando o software GeoGebra

A Curva de Koch foi introduzida por volta de 1904 pelo matemático polonês Helge Von Koch (1870 – 1924). Este fractal foi o primeiro utilizado por Mandelbrot numa tentativa de responder uma de suas famosas indagações: “quanto mede a costa da Grã-Bretanha?”.

O processo de obtenção da curva de Koch é bem simples: primeiramente consideramos um segmento de reta e o dividimos em três partes iguais, retirando a parte central. Na parte central construímos um triângulo equilátero e retiramos a base. Em seguida repetimos este processo nos quatro segmentos restantes, e assim sucessivamente.

Construção no GeoGebra: Inicialmente vamos nomear as ferramentas do software da seguinte maneira:

Assim, para selecionar a ferramenta Novo ponto, nos referiremos como ferramenta 2.1.

Primeira iteração: Selecione a ferramenta 2.1 e crie dois pontos, A e B. Em seguida selecionar a ferramenta 2.2 e unir estes pontos.

Segunda iteração: Selecione a ferramenta 2.1 e crie dois pontos, C e D. Digita-se no campo de entrada E=(2C+D)/3  e também F=(C+2D)/3, assim dividimos o segmento CD em três segmentos congruentes. Agora, seleciona-se a ferramenta 6.1 e clica-se primeiro no ponto E e depois no ponto F, originando a circunferência c; em seguida repete-se o processo, mas agora considerando F como centro e E o outro ponto, obtendo a circunferência d. Depois selecionamos a ferramenta 2.2, clica-se nas circunferências c e d, obtendo os pontos G e H. Ocultar as circunferências e o ponto H. Para obter o estágio final basta selecionar a ferramenta 3.2, e traçar os segmentos CE, EG, GF e FD.

Criar uma ferramenta: Selecionar a aba Ferramentas >> Criar uma nova ferramenta

Ferramenta 1:

Objetos finais: pontos E, G e F e segmentos CE, EG, GF e FD.

Objetos iniciais: pontos C e D.

Nome da ferramenta: Curva de Koch

Ferramenta 2:

Objetos finais: pontos E, G e F.

Objetos iniciais: pontos C e D.

Nome da ferramenta: Curva de Koch 2

Terceira iteração: Selecione a ferramenta 2.1 e crie dois pontos, I e J. Selecione a ferramenta 2 criada e clique sobre os dois pontos, obtendo os pontos K, L e M. Em seguida seleciona a ferramenta 1 criada e clique sobre os pontos I e K, K e L, L e M, M e J; obtendo a terceira iteração da Curva de Koch.

Floco de Neve de Koch

Primeira iteração: Seleciona a ferramenta 5.2 obtendo o triângulo equilátero ABC.

Criar uma ferramenta:

Ferramenta 3:

Objetos finais: ponto C

Objetos iniciais: pontos A e B.

Nome da ferramenta: Floco de Neve

Segunda iteração: Seleciona a ferramenta 2.1 obtendo os pontos D e E, selecione a ferramenta 3 obtendo o ponto F, depois selecionar a ferramenta curva de Koch, e clicar nos pontos D e E, depois em F e E, e para finalizar em E e D. Dessa maneira obtemos a segunda iteração do floco de neve.

Terceira iteração: Seleciona a ferramenta 2.1 obtendo os pontos P e Q, em seguida seleciona a ferramenta floco de neve, obtendo o ponto R. Agora selecione a ferramenta Curva de Koch 2, e clique em P e R, R e Q, Q e P; obtendo os pontos S, T, U, V,W,Z, A₁,B₁,C_1. Depois selecione a ferramenta Curva de Koch e clique nos pontos consecutivos obtendo a terceira iteração.

Fractais...

No decorrer do tempo a busca por descrever os fenômenos da natureza tornou-se objeto de estudo de vários matemáticos, sendo que alguns destes recorreram à ajuda de entes geométricos. Porém, ao tentar realizar estes estudos encontraram um grande problema, dado que “nuvens não são esferas, montanhas não são cones, linhas costeiras não são círculos, e uma casca de árvore não é lisa, tampouco um feixe de luz viaja em linha reta.” (MANDELBROT, 1977, p.1 apud EBERSON, 2004, p.15).

Em seu trabalho, Benoît Mandelbrot (1924 – 2010) dá início ao estudo de objetos antes considerados inúteis, os quais “pela sua simplicidade, diversidade e extraordinária extensão das suas novas aplicações, merecem ser rapidamente integrados na geometria elementar.” (MANDELBROT, 1998, p.13).

Pela necessidade de uma denominação para estes objetos, Mandelbrot os chama de objetos fractais, ou simplesmente fractais, derivando do adjetivo latino fractus, que significa “irregular” ou “quebrado”. Assim consideramos a Geometria Fractal [1] como o estudo dos fractais.

K. J. Falconer, citado por Barbosa (2005, p. 18-19), afirma que um conjunto F é fractal se: F possui alguma forma de ‘auto-similaridade’ ainda que aproximada ou estatística; a dimensão fractal, definida de alguma forma, é maior que a sua dimensão topológica; O conjunto F pode ser expresso através de um procedimento recursivo ou iterativo.

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Principais Características:

• Auto-similaridade: Uma das principais características dos fractais é a auto-similaridade, também chamada de auto-semelhança, ou seja, estes objetos “constituem uma imagem de si, própria em cada uma de suas partes.” (BARBOSA, 2005, p.9). Podemos observar esta característica no triângulo de Sierpinski na figura ao lado.

• Dimensão: a dimensão é a medida do grau de irregularidade e de fragmentação dos fractais, e ainda, segundo Mandelbrot (1998), a dimensão fractal pode ser um número fracionário ou um número irracional, o que leva os fractais a serem chamados de objetos de dimensão fracionária.
  “Os fractais têm dimensões diferentes e próprias de cada imagem. Uma curva irregular tem dimensão entre um e dois, enquanto uma superfície irregular tem dimensões entre dois e três.” (ALMEIDA, 2006, p. 45). Na Figura abaixo encontra-se uma comparação entre as dimensões euclidiana e fractal.

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[1] Esta geometria é não-euclidiana, mas não nega o quinto postulado de Euclides. Sua principal diferença em relação à geometria euclidiana é a dimensão.

A Matemática das pirâmides do Egito

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A construção das pirâmides do antigo Egito também é um exemplo da grande contribuição dada pelos povos africanos à engenharia e à arquitetura. A matemática envolvida nessas construções é realmente impressionante. O uso de coordenadas retangulares para desenhar curvas e a precisão aplicada no traçado de ângulos demonstra o avançado estágio da matemática nesse país africano.

            Isso nos faz refletir sobre a apropriação ou o crédito que é dado aos gregos, como Pitágoras e outros, a respeito do pioneirismo do desenvolvimento do conhecimento matemático da geometria.

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            Para começar, a palavra “pirâmide” vem do grego Pyramidos, ou “medida de luz”. Dentre a centena de pirâmides egípcias, começaremos pelo complexo de Gizé (ou Giza), considerado o mais importante deles, mais especificamente pela pirâmide de Quéops.
            Esta pirâmide possui 146m de altura, 230m de lado e o número exato de pedras, calculado por computadores, de 590 712 unidades (variando em peso de 2,5 a 70 toneladas).
            Todas as pedras de mesmo peso possuem também o mesmo tamanho, com erro menor que 0,025cm em qualquer medida adotada; possuem ângulos perfeitamente retos em suas 6 faces, com precisão de 0,1 grau e encaixe entre elas que não deixa espaço suficiente para passar uma lâmina de canivete (0,04cm). A precisão de encaixe destas pedras supera a precisão dos modernos submarinos.
            Ainda sobre esta estrutura principal, estavam encaixadas 144.000 placas polidas de limestone branca, idênticas em tamanho (precisão de 0,25cm), pesando cerca de 2 toneladas cada, deixando espaço de 0,025cm entre elas. Estas pedras foram recortadas e arrastadas de Tura ou Masada, pedreiras localizadas a cerca de 15-20km do Cairo. Apenas o bloco de granito que forma o piso da Câmara do Rei, com 80 toneladas, e o “sarcófago”, tiveram de ser arrastados de Aswan, que fica a 800km do Cairo.

            A pirâmide de Quéops é um quadrado perfeito, com erro de 58mm (em 230 metros!) e erro de ângulo reto de 1/60 de um grau, alinhada perfeitamente com o norte do Planeta. A base da pirâmide é perfeitamente plana, com desnível de apenas 0,075cm/100m (para quem não é arquiteto ou engenheiro esses números não dizem muita coisa, mas para ter uma ideia comparativa do quão preciso foi o nivelamento das pirâmides, basta dizer que edifícios modernos de alta tecnologia chegam a 15-20cm/100m em desnível).

            As 3 pirâmides alinham-se com a constelação de Orion com margem de erro de 0,001% quando comparadas com a posição destas estrelas no céu em 10.500 AC.

            Além disto, as câmaras interiores foram projetadas ANTES da pirâmide ser construída, sendo deixadas como “buracos” na estrutura da pirâmide (e não “escavadas posteriormente”!), ou seja, os construtores iam empilhando os blocos de pedra e deixando os espaços vazios que seriam cada câmara enquanto iam erguendo as pirâmides.

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            E ainda nem começamos a falar sobre a Câmara do Rei, cuja configuração e proporção das pedras do chão refletem as medidas/translações dos seis primeiros planetas do Sistema Solar (Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno). Também não falamos ainda do “sarcófago” do faraó, que é grande demais para passar pelos dutos da pirâmide, ou seja, ele foi colocado na câmara do rei ANTES da pirâmide ter sido “fechada”. Como disse acima, esta pedra, esculpida em um  bloco de 30 toneladas, foi arrastado por 800km de Aswan até o Cairo durante a construção da pirâmide, de modo a poder ser encaixado na posição correta.
Um último detalhe é que, apesar de todo este cuidado milimétrico de projeto da pirâmide, o “sarcófago” é PEQUENO DEMAIS para caber uma pessoa deitada dentro dele.
            É importante lembrar disto porque, quando falarmos mais pra frente sobre os ALINHAMENTOS dos dutos das câmaras internas com as principais estrelas e constelações da época, durante determinados períodos do ano, temos de ter em mente que toda a estrutura é um gigantesco observatório astronômico, PROJETADO como tal e não fruto de mero “acaso”. Os dutos são alinhados com perfeição de um centésimo de grau em duas câmaras principais de observação.
            Também é preciso dizer que as pirâmides não possuem entradas externas. As entradas eram todas subterrâneas, vindas de uma câmara que ficava sob a esfinge, fazendo com que todo o complexo só pudesse ser acessado por dentro. Quando os exploradores ingleses penetraram nas câmaras internas, o fizeram DINAMITANDO os dutos externamente (pois as entradas subterrâneas encontravam-se soterradas). Então nomearam aquilo de “dutos de ventilação”.
            Assim podemos afirmar que mesmo com a tecnologia de HOJE seria quase impossível erguer pirâmides com a qualidade técnica e construtiva das pirâmides egípcias.
A quantidade de “coincidências” matemáticas e sobre a precisão com que as pirâmides foram construídas poderia consumir textos e mais textos.

Mas afinal de contas, como as pirâmides foram construídas?
Antes de começar com teorias de conspiração, vamos perguntar direto para as autoridades egípcias. E que melhor autoridade que o próprio departamento de turismo egípcio?

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            Segundo eles, as pirâmides foram construídas durante a 4ª dinastia, para servirem como tumba para o faraó Khufu. Demoraram ao todo, cerca de 20 anos para ficarem prontas.
            Vamos começar com uma conta básica: são 590.712 pedras para serem colocadas em 20 anos (8.760 dias). Fazendo as contas, temos que seria necessário para os egípcios encaixarem aproximadamente 1 pedra a cada 17 minutos (24 horas por dia, 7 dias por semana sem parar um segundo).
Embora experimentos feitos pela universidade Obayashi, no Japão, tenham demonstrado que 18 homens conseguem empurrar um bloco de 2,5 toneladas com velocidade máxima de 15m/minuto (demorando, assim, em teoria, 17 horas para empurrá-los da pedreira até a pirâmide, SEM DESCANSO). Claro que esta teoria está furada, pois se arrastassem os blocos por tanto tempo, o atrito com a areia lixaria o fundo das pedras, tornando-as incompatíveis com a precisão matemática que elas apresentam.

            A teoria de arrastar sobre troncos de palmeiras também está furada. Os mesmos alunos demonstraram que as palmeiras existentes no Egito seriam esmagadas se submetidas a blocos de mais de 1,5 toneladas. E isso porque nem entramos no quesito dos quase 5.000 blocos de SETENTA toneladas.

            E sempre é bom lembrar, estes valores são para UMA pirâmide; o conjunto é formado por TRÊS pirâmides (e somado a outras 6 pirâmides menores, a esfinge, as mastabas, templos e outras edificações).
As autoridades egípcias afirmam que a pirâmide é a tumba de um faraó.
Embora NUNCA se tenha encontrado sequer uma múmia em NENHUMA das 111 pirâmides catalogadas. Também nunca foram encontrados NENHUM tesouro de faraó algum. Todas as múmias foram encontradas em cemitérios localizados aos pés das pirâmides ou em templos adequados para tal. Todos os tesouros encontrados estavam nos templos e antecâmaras, mas nunca dentro das estruturas.

            A explicação oficial é que “ladrões de tumbas” saquearam todos os tesouros e as múmias. Embora, voltando a Quéops, os exploradores tiveram de DINAMITAR a passagem para entrar, e nada encontraram lá dentro. Ou seja, se houvessem “ladrões de tumba” eles entraram, levaram TUDO e ainda tiveram a paciência de recolocar todas as pedras na entrada de modo a deixá-la do mesmo modo que ela estava antes deles chegarem, com direito a mesma precisão milimétrica dos encaixes. .
            Se você fosse um faraó e gastasse 20 anos da sua vida para construir o seu túmulo, o mínimo que você iria fazer seria colocar o seu nome bem visível em todos os lugares possíveis e imaginários, certo? ERRADO. Não existe NENHUM hieróglifo ou símbolo dentro de NENHUMA das principais pirâmides. Os únicos símbolos encontrados dentro das pirâmides foram colocados lá milhares de anos após sua construção.

            As autoridades egípcias afirmam que os dutos que conectam a câmara do rei às laterais da pirâmide são, na verdade, “dutos de ventilação” (mas para que precisamos de dutos de ventilação em uma tumba?). O fato destes dutos alinharem-se perfeitamente com estrelas e constelações que tem profundo simbolismo na mitologia e religião Egípcia é, como tudo mais, uma “coincidência”.

E se o faraó, na verdade, não construiu as pirâmides em 20 anos (como demonstramos ser impossível), mas sim REFORMOU algo que já estava pronto, mas parcialmente destruído pelo dilúvio, nesses 20 anos? E se as pirâmides escalonadas (aquelas mais toscas e sem grande precisão), que foram construídas em 4.000 AC foram, não “testes de construção” como as autoridades dizem, mas sim IMITAÇÕES das verdadeiras pirâmides, feitas realmente com o máximo que seria possível de tecnologia da época?

Fonte: http://www.neoseganet.com/forum/index.php?showtopic=19001

A Chance de ganhar na Mega-Sena

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Muita gente sonha em ganhar na Mega-Sena. Claro que não deve ser fácil, mas será que tentando toda semana a gente não ganharia de vez em quando?

Esta é uma questão que a Matemática ajuda a responder! Pode-se calcular matematicamente a probabilidade de ganhar na Mega-Sena.

Para começar, no lugar da Mega-Sena, vamos imaginar a Minitrinca. Em Matemática, esta é uma estratégia frequente: em vez de pensar em um problema complicado, podemos partir de uma maneira mais simples, embora parecido. O que descobrirmos no problema simples será usado no complicado.

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Na nossa Minitrinca, três bolinhas são sorteadas, uma por vez, de uma urna com dez bolinhas iguais, numeradas de 1 a 10. Os três números das bolinhas sorteadas formam a trinca vencedora. Como as bolinhas são iguais, qualquer número tem a mesma chance de sair e, por isso, todas as trincas são igualmente prováveis.

Para ter noção da dificuldade de ganhar na Minitrinca, precisamos saber quantas possibilidades de trincas existem. Podemos raciocinar da seguinte maneira:

·         O primeiro número da trinca pode ser escolhido de 10 maneiras diferentes, porque pertence ao conjunto formado por 1, 2, 3, ..., 9, 10.

·         Sorteado o primeiro número, restam só nove bolinhas na urna. Por isso o segundo número da trinca pode ser escolhido de 9 maneiras diferentes.

·         O terceiro número da trinca pode ser escolhido de 8 maneiras diferentes.

Assim, para cada uma das 10 escolhas do primeiro número, há 9 escolhas do segundo número, dando 10x9=90 escolhas. Para cada uma dessas 90 escolhas, há 8 escolhas do terceiro número, dando, no total, 90x8=720 escolhas. Parece que temos 720 possibilidades de trincas.

	Mas será que a trinca 3, 5, 9                           não é igual à trinca 5, 3, 9?

 

Pois é, da maneira que contamos as trincas, uma possibilidade é 3, 5, 9 (sorteia-se primeiro o 3, depois o 5, por fim o 9). Outra, diferente, é 5, 3, 9 (sorteia-se primeiro o 5, depois o 3 e, por fim o 9). Entretanto, para o apostador que marcou uma trinca em um papel 3 – 5 – 9 é igual a 5 – 3 – 9. O prêmio vai para uma determinada trinca, sem que importe a ordem em que os números foram sorteados.

Quantas trincas podem ser formadas com os mesmos três números?

O primeiro número da trinca pode ser escolhido de três maneiras, o segundo pode ser escolhido de duas maneiras e o terceiro de uma só maneira. Conclusão: o número de trincas com os mesmos números é 3x2x1=6. Por exemplo, com os números  3, 5 e 9, temos estas trincas:

3 – 5 – 9               3 – 9 – 5               5 – 3 – 9               5 – 9 – 3               9 – 3 – 5               9 – 5 – 3

Na primeira contagem das trincas, obtivemos 720, mas cada trinca foi contada 6 vezes. Por isso, o total de trincas, na verdade, é 720 : 6 = 120.

A probabilidade de ganhar na Minitrinca é 1 em 120 ou 1 : 120 = 0,008 =0,8%. Pequena não?

Nossas conclusões sobre a Minitrinca são aplicáveis a Mega-Sena, porque os dois jogos são quase iguais, só mudam as quantidades.

Na Mega-Sena são sorteadas seis bolinhas de uma urna com 60 bolinhas, numeradas de 1 a 60. Os seis números das bolinhas sorteadas formam a sena vencedora.  Assim como no caso anterior, todas as senas têm a mesma chance de serem sorteadas.

Fonte

Raciocinando como antes, percebemos que o primeiro número da sena pode ser obtido de 60 maneiras diferentes, o segundo de 59 maneiras diferentes, o terceiro de 58 maneiras e assim por diante. Chegamos a um total provisório de senas porque, como já sabemos, cada sena está sendo contada mais de uma vez.

Isso acontece porque cada uma pode aparecer em diferentes ordens. Há 6 possibilidades para o primeiro número, 5 para o segundo etc. assim, os mesmos seis números podem surgir em 6x5x4x3x2x1 ordens diferentes.

Calculando o total provisório e dividindo pela quantidade de ordens de cada sena, você descobrirá que existem 50 063 860 de senas diferentes. Apostando numa delas, sua chance de vencer será de 1 em 50 063 860 , que é aproximadamente igual a  0,000002% .

Essa chance é grande ou pequena? Bem, para termos uma ideia, compare com este evento: você lança uma moeda honesta 25 vezes e obtém 25 caras. Impossível? Não. É mais provável você obter as 25 caras do que ganhar na Mega-Sena.

É claro que, apostando na Mega-Sena duas vezes por semana durante alguns anos, as chances de ganhar uma única vez aumentam. Seria como repetir o experimento da moeda umas 500 vezes!

Conclusão: é quase impossível ganhar na Mega-Sena. Por isso, o único “conselho matemático” que se pode dar a quem quer ganhar na Mega-Sena é: aposte! Como em cada sorteio alguém sempre ganha, a probabilidade zero de ganhar só existe para quem não aposta!  

Fonte: IMENES, L.M.; LELLIS, M. Matemática 9º ano. São Paulo: Moderna, 2009. p. 105-107.