Fractais...

No decorrer do tempo a busca por descrever os fenômenos da natureza tornou-se objeto de estudo de vários matemáticos, sendo que alguns destes recorreram à ajuda de entes geométricos. Porém, ao tentar realizar estes estudos encontraram um grande problema, dado que “nuvens não são esferas, montanhas não são cones, linhas costeiras não são círculos, e uma casca de árvore não é lisa, tampouco um feixe de luz viaja em linha reta.” (MANDELBROT, 1977, p.1 apud EBERSON, 2004, p.15).

Em seu trabalho, Benoît Mandelbrot (1924 – 2010) dá início ao estudo de objetos antes considerados inúteis, os quais “pela sua simplicidade, diversidade e extraordinária extensão das suas novas aplicações, merecem ser rapidamente integrados na geometria elementar.” (MANDELBROT, 1998, p.13).

Pela necessidade de uma denominação para estes objetos, Mandelbrot os chama de objetos fractais, ou simplesmente fractais, derivando do adjetivo latino fractus, que significa “irregular” ou “quebrado”. Assim consideramos a Geometria Fractal [1] como o estudo dos fractais.

K. J. Falconer, citado por Barbosa (2005, p. 18-19), afirma que um conjunto F é fractal se: F possui alguma forma de ‘auto-similaridade’ ainda que aproximada ou estatística; a dimensão fractal, definida de alguma forma, é maior que a sua dimensão topológica; O conjunto F pode ser expresso através de um procedimento recursivo ou iterativo.

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Principais Características:

• Auto-similaridade: Uma das principais características dos fractais é a auto-similaridade, também chamada de auto-semelhança, ou seja, estes objetos “constituem uma imagem de si, própria em cada uma de suas partes.” (BARBOSA, 2005, p.9). Podemos observar esta característica no triângulo de Sierpinski na figura ao lado.

• Dimensão: a dimensão é a medida do grau de irregularidade e de fragmentação dos fractais, e ainda, segundo Mandelbrot (1998), a dimensão fractal pode ser um número fracionário ou um número irracional, o que leva os fractais a serem chamados de objetos de dimensão fracionária.
  “Os fractais têm dimensões diferentes e próprias de cada imagem. Uma curva irregular tem dimensão entre um e dois, enquanto uma superfície irregular tem dimensões entre dois e três.” (ALMEIDA, 2006, p. 45). Na Figura abaixo encontra-se uma comparação entre as dimensões euclidiana e fractal.

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[1] Esta geometria é não-euclidiana, mas não nega o quinto postulado de Euclides. Sua principal diferença em relação à geometria euclidiana é a dimensão.