Construção da curva e do floco de neve de Koch utilizando o software GeoGebra

A Curva de Koch foi introduzida por volta de 1904 pelo matemático polonês Helge Von Koch (1870 – 1924). Este fractal foi o primeiro utilizado por Mandelbrot numa tentativa de responder uma de suas famosas indagações: “quanto mede a costa da Grã-Bretanha?”.

O processo de obtenção da curva de Koch é bem simples: primeiramente consideramos um segmento de reta e o dividimos em três partes iguais, retirando a parte central. Na parte central construímos um triângulo equilátero e retiramos a base. Em seguida repetimos este processo nos quatro segmentos restantes, e assim sucessivamente.

Construção no GeoGebra: Inicialmente vamos nomear as ferramentas do software da seguinte maneira:

Assim, para selecionar a ferramenta Novo ponto, nos referiremos como ferramenta 2.1.

Primeira iteração: Selecione a ferramenta 2.1 e crie dois pontos, A e B. Em seguida selecionar a ferramenta 2.2 e unir estes pontos.

Segunda iteração: Selecione a ferramenta 2.1 e crie dois pontos, C e D. Digita-se no campo de entrada E=(2C+D)/3  e também F=(C+2D)/3, assim dividimos o segmento CD em três segmentos congruentes. Agora, seleciona-se a ferramenta 6.1 e clica-se primeiro no ponto E e depois no ponto F, originando a circunferência c; em seguida repete-se o processo, mas agora considerando F como centro e E o outro ponto, obtendo a circunferência d. Depois selecionamos a ferramenta 2.2, clica-se nas circunferências c e d, obtendo os pontos G e H. Ocultar as circunferências e o ponto H. Para obter o estágio final basta selecionar a ferramenta 3.2, e traçar os segmentos CE, EG, GF e FD.

Criar uma ferramenta: Selecionar a aba Ferramentas >> Criar uma nova ferramenta

Ferramenta 1:

Objetos finais: pontos E, G e F e segmentos CE, EG, GF e FD.

Objetos iniciais: pontos C e D.

Nome da ferramenta: Curva de Koch

Ferramenta 2:

Objetos finais: pontos E, G e F.

Objetos iniciais: pontos C e D.

Nome da ferramenta: Curva de Koch 2

Terceira iteração: Selecione a ferramenta 2.1 e crie dois pontos, I e J. Selecione a ferramenta 2 criada e clique sobre os dois pontos, obtendo os pontos K, L e M. Em seguida seleciona a ferramenta 1 criada e clique sobre os pontos I e K, K e L, L e M, M e J; obtendo a terceira iteração da Curva de Koch.

Floco de Neve de Koch

Primeira iteração: Seleciona a ferramenta 5.2 obtendo o triângulo equilátero ABC.

Criar uma ferramenta:

Ferramenta 3:

Objetos finais: ponto C

Objetos iniciais: pontos A e B.

Nome da ferramenta: Floco de Neve

Segunda iteração: Seleciona a ferramenta 2.1 obtendo os pontos D e E, selecione a ferramenta 3 obtendo o ponto F, depois selecionar a ferramenta curva de Koch, e clicar nos pontos D e E, depois em F e E, e para finalizar em E e D. Dessa maneira obtemos a segunda iteração do floco de neve.

Terceira iteração: Seleciona a ferramenta 2.1 obtendo os pontos P e Q, em seguida seleciona a ferramenta floco de neve, obtendo o ponto R. Agora selecione a ferramenta Curva de Koch 2, e clique em P e R, R e Q, Q e P; obtendo os pontos S, T, U, V,W,Z, A₁,B₁,C_1. Depois selecione a ferramenta Curva de Koch e clique nos pontos consecutivos obtendo a terceira iteração.